Choose your screen resolution: Auto adjust 800x600 1024x768


Categorii
Scris de administrator   
Joi, 08 Iunie 2017 16:08

CATEGORII

Prof. Badea Brigitte,

Colegiul Tehnic Ion Mincu, Timişoara

Rezumat

Structurile algebrice constituie o ramură fascinantă a algebrei, cu aplicaţii extrem de interesante. Elevilor din clasele a XII-a le sunt pezentate câteva structuri algebrice de bază prin care ei pot întrezări frumuseţea acestei părţi a matematicii. Pentru profesorii interesaţi de extinderea în acest domeniu a cunoştinţelor elevilor pe care îi îndrumă voi prezenta în articol noţiunea de categorie, construită cu ajutorul morfismelor studiate în liceu. Această structură algebrică va fi exemplificată prin două categorii tipice, categoria grupurilor abeliene Ab şi categoria R-modulelor Mod( R).

I. Noţiunea de categorie

Se numeşte categorie o noţiune matematică C dată prin:

- o clasă Ob C ale cărei elemente se numesc obiecte;

- pentru fiecare cuplu de obiecte (A,B), o mulţime notată HomC(A,B) numită mulţimea morfismelor de la A la B;

- pentru fiecare tre iobiecte A, B, C o aplicaţie:

mABC: HomC(A,B) HomC(B,C) ®HomC(A,C), aplicaţii care definesc compunerea morfismelor; vom nota: mABC((f,g)) = gf.

Aceste date sunt supuse următoarelor condiţii:

(Cat.1) Dacă (A,B) şi (C,D) sun tdouă perechi distincte de obiecte din C, atunci

HomC(A,B) ∩ HomC(C,D) = Æ.

(Cat.2) Compunerea morfismelor este asociativă, adică:

dacă f HomC(A,B), g HomC(B,C), h HomC(C,D) atunci h(gf) = (hg)f .

(Cat.3) Pentru fiecare obiect A există un morfism 1A HomC(A, A) astfelîncât f HomC(A, ×) şi g HomC(× ,A) să avem: f1A = f şi 1A g = g .

Observaţie: Pentru fiecare obiect A, morfismul1A numit morfism unitate sau morfism identic, este unic.

Fie D o categorie. O categorie Cse numeşte subcategorie a lui D dacă sunt îndeplinite condiţiile:

1) Ob C ÍObD ;

A, B Ob C, HomC(A,B) HomD(A,B) ;

2) Compunerea înCeste indusă de compunerea din D;

3) A Ob C, 1A HomC (A,A).

Prin duala unei categorii vom înţelege categoria C° dată prin:

a) ObC° = ObC ;

b) HomC° (A,B) = HomC(B,A);

c) pentru A, B, C Ob C°, f HomC° (A,B), g HomC° (B,C), m ((f,g)) = mCBA((g,f)).

Principiul dualităţii: Orice noţiune sau enunţ relativ la obiectele şi morfismele unei categoriiCadmite, prin transcriere în categoriaC°, o noţiune sau un enunţ dual.

Observaţie: Practic, dualizarea se obţine prin inversarea săgeţilor ce reprezintă morfismeleluiC.

II. Exemple

1) Categoria grupurilor abeliene Ab

Această categorie este unul din exemplele tipice de categorii, în mod evident condiţiile fiind îndeplinite pentru grupurile abeliene dotate cu morfismele obişnuite şi cu compunerea morfismelor. Exemplul este accesibil inclusive elevilor de liceu în cazul extinderii cunoştinţelor referitoare la structurile algebrice.

2) Categoria R-modulelor Mod(R)

Fie R un inel comutativ arbitrar, cu elemental unitate 1 ≠ 0.

Printr-un modul peste R sauR-modul înţelegem un grup aditiv abelianX împreună cu o aplicaţie

μ: R X → X care satisface următoarele patru axiome:

(M1) μ ( α+β, x) = μ (α, x) + μ ( β, x), α, β R, x X

(M2)μ( α, x+y) = μ(α, x) + μ (α, y), α R , x, y X

(M3)μ [α,μ ( β, x)]= μ (α β, x), α, β R , x X

(M4) μ (1, x) = x , x X .

Aplicaţia μ este numită înmulţirea cu scalar ia modulului X. Această operaţie externă este notată, de regulă, multiplicativ:μ (α, x) = αx.

Cu această notaţie axiomele (M1) – (M4) se scriu:

(M ) (α+β)x = αx + βx , α, β R, x X

(M ) α(x+y) = αx + αy , α R , x, y X

(M ) α(β x) = (α β)x α, β R , x X

(M ) 1x = x, x X .

Fie X şi Y două R-module. O aplicaţie f: X → Y se numeşte morfism de R-module dacă îndeplineşte condiţiile:

(1) f(x+y) = f(x) + f(y), x, y X

(2) f(αx) = αf(x) , α R, x X.

Cu alte cuvinte f este morfism de R-module dacăşi numai dacă este morfism de grupuri şi păstrează înmulţirea cu scalari.

R-modulele dotate cu morfismele de R-module şi cu compunerea uzuală a morfismelor constituie de asemenea un exemplu tipic de categorie.

Bibliografie:

[1] Dragomir A., Dragomir P. – “Structuri algebrice”, Edit. Facla,Timişoara, 1981;

[2] Mitchell B. – Theory of Categories”, Academic Press, New York, 1965;

[3] SzeTsen Hu Introduction to Homological Algebra”, Holdan-Day Inc., 1968.

 

Adaugă comentariu


Codul de securitate
Actualizează

Revista cu ISSN

L’importance de la lecture au primaire

L’IMPORTANCE DE LA LECTURE AU PRIMAIRE Prof. Octavian Horia Minda Şcoala cu clasele I-VIII, Sînandrei, Timiş   L'acquisition de la lecture se fait progressivement, à partir du développement des compétences langagières...

Read more

Redactarea unui eseu in liimba engleza

REDACTAREA UNUI ESEU ÎN LIMBA ENGLEZĂ Studiu de specialitate Profesor limba engleză Bold Corina C.N. Zinca Golescu Pitești Această sarcină pare a fi una destul dificilă în rândul elevilor. Indiferent dacă eseul...

Read more

Charles Gounod si Doctorul Faust

CHARLES GOUNOD ŞI DOCTORUL FAUST   Prof. Gloria Ghidiceanu Şcoala Gimnazială Mihai Viteazul, Craiova     Charles Gounod s-a născut la Paris, la 17 iunie 1818, fiu al unor artişti (tatăl pictor şi gravor, mama...

Read more

DESPRE EDUCATIA ADULTILOR

DESPRE EDUCAŢIA ADULŢILOR, COLABORAREA ŞCOALÃ-FAMILIE ŞI MANAGEMENTUL COMUNICÃRII Prof. Lazar Mihaiela Liceul de Artã „Ioan Sima” Zalãu     Educatia este forma de adaptare esentialã a omului la...

Read more

Utilizarea instrumentului dustbin game i…

UTILIZAREA INSTRUMENTULUI DUSTBIN GAME ÎN ACTIVITATEA DIDACTICĂ Profesor Bușcă Laura Liceul Tehnologic “Lazăr Edeleanu”, Năvodari Rezumat: Dustbin Game este un instrument cu ajutorul căruia se pot crea resurse educaționale. Articolul...

Read more

Cadrul asigurarii calitatii, politici si…

CADRUL ASIGURĂRII CALITĂŢII POLITICI ŞI PROCEDURI     O politică este o descriere cuprinzătoare care precizează în mod clar ce anume doreşte să realizeze un furnizor de EDUCAŢIE ŞI FORMARE PROFESIONALĂ în fiecare domeniu....

Read more

Adolescenta perioada marilor framantari

ADOLESCENȚA, PERIOADA MARILOR FRĂMÂNTĂRI Profesor Miu Mihaela Camelia Liceul Teoretic ”Independența” Calafat Pre/adolescența, deși este o perioadă tulbure și plină de frământări, reprezintă vârsta inteligenței...

Read more

Mostre de unitati SF intercurriculare

PARTEA VI Mostre de unităţi SF intercurriculare   Fiecare partener a proiectat o unitate SF inter-curriculară (cross-curriculară), descriind o serie de lecţii interconectate care utilizează unul sau mai multe texte SF cu scopul...

Read more