Choose your screen resolution: Auto adjust 800x600 1024x768


Categorii
Scris de administrator   
Joi, 08 Iunie 2017 16:08

CATEGORII

Prof. Badea Brigitte,

Colegiul Tehnic Ion Mincu, Timişoara

Rezumat

Structurile algebrice constituie o ramură fascinantă a algebrei, cu aplicaţii extrem de interesante. Elevilor din clasele a XII-a le sunt pezentate câteva structuri algebrice de bază prin care ei pot întrezări frumuseţea acestei părţi a matematicii. Pentru profesorii interesaţi de extinderea în acest domeniu a cunoştinţelor elevilor pe care îi îndrumă voi prezenta în articol noţiunea de categorie, construită cu ajutorul morfismelor studiate în liceu. Această structură algebrică va fi exemplificată prin două categorii tipice, categoria grupurilor abeliene Ab şi categoria R-modulelor Mod( R).

I. Noţiunea de categorie

Se numeşte categorie o noţiune matematică C dată prin:

- o clasă Ob C ale cărei elemente se numesc obiecte;

- pentru fiecare cuplu de obiecte (A,B), o mulţime notată HomC(A,B) numită mulţimea morfismelor de la A la B;

- pentru fiecare tre iobiecte A, B, C o aplicaţie:

mABC: HomC(A,B) HomC(B,C) ®HomC(A,C), aplicaţii care definesc compunerea morfismelor; vom nota: mABC((f,g)) = gf.

Aceste date sunt supuse următoarelor condiţii:

(Cat.1) Dacă (A,B) şi (C,D) sun tdouă perechi distincte de obiecte din C, atunci

HomC(A,B) ∩ HomC(C,D) = Æ.

(Cat.2) Compunerea morfismelor este asociativă, adică:

dacă f HomC(A,B), g HomC(B,C), h HomC(C,D) atunci h(gf) = (hg)f .

(Cat.3) Pentru fiecare obiect A există un morfism 1A HomC(A, A) astfelîncât f HomC(A, ×) şi g HomC(× ,A) să avem: f1A = f şi 1A g = g .

Observaţie: Pentru fiecare obiect A, morfismul1A numit morfism unitate sau morfism identic, este unic.

Fie D o categorie. O categorie Cse numeşte subcategorie a lui D dacă sunt îndeplinite condiţiile:

1) Ob C ÍObD ;

A, B Ob C, HomC(A,B) HomD(A,B) ;

2) Compunerea înCeste indusă de compunerea din D;

3) A Ob C, 1A HomC (A,A).

Prin duala unei categorii vom înţelege categoria C° dată prin:

a) ObC° = ObC ;

b) HomC° (A,B) = HomC(B,A);

c) pentru A, B, C Ob C°, f HomC° (A,B), g HomC° (B,C), m ((f,g)) = mCBA((g,f)).

Principiul dualităţii: Orice noţiune sau enunţ relativ la obiectele şi morfismele unei categoriiCadmite, prin transcriere în categoriaC°, o noţiune sau un enunţ dual.

Observaţie: Practic, dualizarea se obţine prin inversarea săgeţilor ce reprezintă morfismeleluiC.

II. Exemple

1) Categoria grupurilor abeliene Ab

Această categorie este unul din exemplele tipice de categorii, în mod evident condiţiile fiind îndeplinite pentru grupurile abeliene dotate cu morfismele obişnuite şi cu compunerea morfismelor. Exemplul este accesibil inclusive elevilor de liceu în cazul extinderii cunoştinţelor referitoare la structurile algebrice.

2) Categoria R-modulelor Mod(R)

Fie R un inel comutativ arbitrar, cu elemental unitate 1 ≠ 0.

Printr-un modul peste R sauR-modul înţelegem un grup aditiv abelianX împreună cu o aplicaţie

μ: R X → X care satisface următoarele patru axiome:

(M1) μ ( α+β, x) = μ (α, x) + μ ( β, x), α, β R, x X

(M2)μ( α, x+y) = μ(α, x) + μ (α, y), α R , x, y X

(M3)μ [α,μ ( β, x)]= μ (α β, x), α, β R , x X

(M4) μ (1, x) = x , x X .

Aplicaţia μ este numită înmulţirea cu scalar ia modulului X. Această operaţie externă este notată, de regulă, multiplicativ:μ (α, x) = αx.

Cu această notaţie axiomele (M1) – (M4) se scriu:

(M ) (α+β)x = αx + βx , α, β R, x X

(M ) α(x+y) = αx + αy , α R , x, y X

(M ) α(β x) = (α β)x α, β R , x X

(M ) 1x = x, x X .

Fie X şi Y două R-module. O aplicaţie f: X → Y se numeşte morfism de R-module dacă îndeplineşte condiţiile:

(1) f(x+y) = f(x) + f(y), x, y X

(2) f(αx) = αf(x) , α R, x X.

Cu alte cuvinte f este morfism de R-module dacăşi numai dacă este morfism de grupuri şi păstrează înmulţirea cu scalari.

R-modulele dotate cu morfismele de R-module şi cu compunerea uzuală a morfismelor constituie de asemenea un exemplu tipic de categorie.

Bibliografie:

[1] Dragomir A., Dragomir P. – “Structuri algebrice”, Edit. Facla,Timişoara, 1981;

[2] Mitchell B. – Theory of Categories”, Academic Press, New York, 1965;

[3] SzeTsen Hu Introduction to Homological Algebra”, Holdan-Day Inc., 1968.

 

Revista cu ISSN

Calendar examenul national de definitiva…

Calendarul desfăşurării examenului naţional de definitivare în învăţământ   Vezi calendarul şi programul de desfăşurare a examenului naţional de definitivare în învăţământ.

Read more

Lecturi limba si literatura romana pentr…

LECTURI LIMBA ȘI LITERATURA ROMÂNĂ PENTRU CLASA A XII-A Lecturi obligatorii - Literatura română pentru clasa a XII-a:Ion Băieşu - TeatruLucian Blaga - TeatruNicolae Breban - Animale bolnaveTraian T. Coşovei -...

Read more

Turismul Romaniei pe regiuni de dezvolta…

Turismul Romaniei pe regiuni de dezvoltare

TURISMUL ROMÂNIEI PE REGIUNI DE DEZVOLTARE   Prof. Bozgan Adriana Col. Tehnic “Regele Ferdinand I”, Timişoara   Necesitatea elaborării strategiei de ecoturism Ariile naturale deţin atuuri importante pentru dezvoltarea activităţilor recreative, activităţi ce pot aduce venituri...

Read more

Dimenisuni sociale in educatie

DIMENSIUNI SOCIALE ÎN EDUCAŢIE                                                 Zamciuc Cristina, profesor Colegiul Economic ”Octav Onicescu ”Botoşani                Educaţia în genere caută să realizeze trei scopuri, în care individualul şi socialul se întâlnesc şi se întretaie în...

Read more

Rolul imaginii de televiziune in influen…

ROLUL IMAGINII DE TELEVIZIUNE ÎN INFLUENŢAREA COMPORTAMENTULUI ELEVILOR   Prof. CIUCĂ (STAN) CRISTINA Şcoala cu clasele I-VIII Basca-Chiojdului, Chiojdu, jud. Buzău     Lumea se schimbă cu o rapiditate extraordinară, mass-media pătrunde în viaţa fiecăruia dintre...

Read more

Festivalul National al Sanselor Tale

Festivalul National al Sanselor Tale   Conform adresei M.E.C.T.S. nr. 62458/10.10.2012, in perioada 19-25 noiembrie 2012 se va desfasura  sub genericul “Mediu social mai sigur pentru o educatie mai performanta”, a XIII-a editie a Festivalului National al Sanselor Tale. Organizarea...

Read more

C est quoi le traducteur

C’EST QUOI, LE TRADUCTEUR?                                                                                                              Prof. Pîrlog Daniela, Şcoala Gimnazială Băleni, Galaţi   On se propose, par cet article, d’expliquer aux étudiants de la langue française les tâches du traducteur et ce qu’il...

Read more

Studiu Modalitati de educare a comportam…

  STUDIU-MODALITĂȚI DE EDUCARE A COMPORTAMENTELOR ECOLOGICE LA ELEVI Înv. Marc Aurica-Școala Gimnazială Câmpeni “ Omul poate stăpâni natura cât timp ține seama de legile ei” – Grigore Antipa Mediul înconjurător este un...

Read more