Choose your screen resolution: Auto adjust 800x600 1024x768


Aplicatii ale integralei definite
Scris de mihaiela lazar   
Sâmbătă, 15 Februarie 2020 16:21

APLICAȚII ALE INTEGRALEI DEFINITE

Prof. Opriș Brișcan Maria,

Liceul Tehnologic,,C-tin Brâncuși” Oradea

În lucrarea de față mă voi referi la o parte din aplicațiile integralei definite și anume la calculul ariilor unor suprafețe plane și volumelor unor corpuri neregulate.

La geometrie în gimnaziu am învățat să calculăm ariile și perimetrele diferitelor suprafețe plane regulate cum ar fi pătratul,triunghiul,cercul, etc dar și volumele unor corpuri de rotație: cilindrul, conul, sfera etc. Există suprafețe și corpuri neregulate ale căror arii și volume le calculăm cu ajutorul integralelor definite studiate în manualul de ,,Analiză Matematică, în clasa a XII-a.

Cuvinte cheie: arie, suprafețe plane, integrală definită, volume, corpuri de rotație.

Aria unei suprafețe plane

Noțiuni teoretice:

Fie funcția f:[a,b]R continuă și pozitivă.Suprafața mărginită de graficul funcției f ,axa Ox și dreptele de ecuații x=a, x=b se numește subgraficul lui f și aria lui se calculează cu formula: Aria(=

Dacă f,g:[a,b]R sunt continue și f(x)g(x) atunci aria suprafeței cuprinsă între graficele celor două funcții se calculează după formula:

Aria()=

Studiem câteva exemple:

1) Fie funcția f:[0,1] R f(x)=.Cum funcția este pozitivă , aria subgraficului lui f este;

Aria()=)dx=( =+2020

2) f:[e,] R f(x)=xlnx este o funcție pozitivă , prin urmare aria subgraficului lui f ,aplicând formula de integrare prin părți și facând toate calculele este:

Aria()= xlnx)dx=(lnx-) =

3) f:[-3,2]R f(x)=

Aria(=+)dx=

=(+(=

4) Fie funcțiile f,g:[0,2]R f(x)= și g(x)=2x-. Calculăm aria cuprinsă între graficele celor două funcții:

y




Aria()




x

Aria()=)dx=(2=

5) Considerăm funcțiile f,g:[0,2]R f(x)= , g(x)=x+1

y




Aria()

x

Aria()=)dx=() =

6)Se consideră funcția f:RR f(x)=-3m+4mx-3, unde m este un număr real nenul.Aflați m pentru care aria suprafeței plane determinată de graficul funcției,axa Ox și dreptele de ecuații x=0, x=1 să fie maximă.

Aria()=-3m+4mx-3)dx=(-=-+2m-3

Această expresie este de gradul doi și este maximă pentru m=1

7)Fie funcția f:[0,∞)R f(x)=. Aflați numărul a, 0 astfel încât aria suprafeței plane determinată de graficul funcției f, axa Ox și dreptele de ecuații x=0, x=a să fie egală cu 1-.

Aria()=)dx=ln(x+2)-=ln(a+2)--ln2=ln-

Egalăm rezultatul obținut cu 1- ,iar după calcule rezultă a=2e-2

Volumul unui corp de rotație

Noțiuni teoretice:

Fie f:[a,b] o funcție continuă.Se numește corp de rotație corpul obținut prin rotirea subgraficului funcției f în jurul axei Ox și are volumul dat de formula:

V(

Vom studia câteva exemple:

1) Se dă funcția f:[0,1] f(x)= . Calculavolumul corpului generat de rotirea subgraficului lui f în jurul axei Ox.

Așadar V(=dx===

[=

y

V(




x




z

2)Calculați volumul corpului obținut prin rotirea subfraficului funcției f:[2,3] f(x)= în jurul axei Ox.

V(====+=

3)Se dă funcția f:[0,4] f(x)= .Aflați a astfel încât V( obținut prin rotirea subgraficului lui f în jurul axei Ox să fie egal cu 32

V(==8

Egalăm rezultatul obținut cu 32 și din rszolvarea ecuației rezultă a=2

4)Fie f:[0,1] f(x)= . Se cere volumul corpului obținut prin rotirea subgraficului lui f în jurul axei Ox.

V((x+=(1=

5)Se consideră funcția f:RR f(x)=3x+5 unde a este real.Să se arate că valoarea minimă a volumului corpului obținut prin rotația în jurul axei Ox a graficului funcției h:[0,1]R h(x)=f(ax) este de pentru orice x

V(

=

Astfel am obținut o funcție de gradul al doilea, iar minimul ei este . După înlocuiri și calcule făcute rezultatul este tocmai .

6)Dându-se funcția f:[0,1]R f(x)=mx+5 , aflați m real astfel încât volumul corpului obținut prin rotirea în jurul lui Ox a subgraficului lui f să fie minim.

V(=+5m+25)

Volumul este minim pentru m=

Bibliografie:

Săndulescu F., Solymoși M.,Nica C., Matematică, bacalaureat-teste, Ed. Booklet, București, 2012


Articole asemanatoare relatate:
Articole asemanatoare mai vechi:

 

Revista cu ISSN

educatia ecologica la ciclul primar

EDUCAŢIA ECOLOGICĂ LA CICLUL PRIMAR   Prof. Marşeu Rodica Lavinia Şcoala cu clasele I – VIII Dudeştii Noi, jud. Timiş „Nu putem schimba pe alţii, dar dacă ne putem...

Read more

Alba Iulia capitala educatiei intercultu…

ALBA IULIA – CAPITALA EDUCAŢIEI INTERCULTURALE  Prof. Dan Stroe Între 13 şi 17 octombrie la Alba Iulia, județul Alba, sub egida Consiliului Europei, a Ministerului Educaţiei şi Cercetării din România, a Inspectoratului...

Read more

Importanta creativitatii in procesul de …

IMPORTANŢA CREATIVITĂŢII ÎN PROCESUL DE ÎNVĂŢARE A MATEMATICII ÎN GIMNAZIU   Copaciu Georgeta Cătălina  prof. Şcoala Generală Moeciu de Jos, Jud. Braşov     Prin învăţarea creativă trebuie să reuşim să facem din fiecare copil un...

Read more

Sanse egale pentru copiii proveniti din …

ŞANSE EGALE PENTRU COPIII PROVENIŢI DIN MEDII DEFAVORIZATE Prof. CORD MARILENA Școala Gimnazialā Cālāƫele, Judeƫul Cluj Prima cerinţă a educaţiei incluzive este de a diminua până la a elimina toate formele...

Read more

Situatia deseurilor in municipiul Brasov

Situatia deseurilor in municipiul Brasov

STUDIU PRIVIND SITUAŢIA DEŞEURILOR ÎN MUNICIPIUL BRAŞOV   Constantin Elena Mădălina Prof Geografie -  Şcoala Generală nr. 6 Iacob Mureşianu     Rezumat: Odată cu dezvoltarea economică a oraşului Braşov începută în a doua jumatate a...

Read more

Calendar desfasurare concurs corpul nati…

Calendarul desfăşurării concursului de selecţie a cadrelor didactice pentru constituirea corpului naţional de experţi în management educaţional, sesiunea 2012, seria a 2-a     CALENDARUL desfăşurării concursului de selecţie a cadrelor didactice pentru...

Read more

Familia primul educator Rolul familiei i…

FAMILIA - PRIMUL EDUCATOR ROLUL FAMILIEI ÎN ACTIVITATEA DE ÎNVĂŢARE   Prof. înv. primar Bukszar Daniela Școala Gimnazială Lunca Bradului, Jud. Mureș   Rezumat: Familia este matrice de viaţă fundamentală pentru existenţa şi formarea personalităţii elevului, ca...

Read more

Studiul posibilitatilor de obtinere a en…

STUDIUL POSIBILITĂŢILOR  DE OBŢINERE A ENERGIEI PRIN BIOCONVERSIE   Prof. Gălăţan Daniela, Colegiul Tehnic Regele Ferdinand I Timişoara               Printre posibilităţile de conversie cu eficienţă mare se numără şi procesele de bioconversie care...

Read more